課程內(nèi)容

《生活中的優(yōu)化問題舉例》
一、復(fù)習(xí)：如何用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最值？
一般地，若函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖象是一條龍連續(xù)不斷的曲線，則求f（x）的最值步驟是：
（1）求y=f（x）[a，b]內(nèi)的極值（極大值與極小值）；
（2）將函數(shù)的積極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f（a）、f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小一個(gè)為最小值。
特別地，一般如果函數(shù)在給定開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值一定是最值。
二、引入新課
什么是優(yōu)化問題
生活經(jīng)常遇到求利潤最大，用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題。
導(dǎo)數(shù)是求最大（小）值的有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決一些生活中的優(yōu)化問題。
三、應(yīng)用
問題情景一；海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)
【背景材料】學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm²，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各1dm。
例1、學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm，如圖設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸才能使四周空白面積最小？
解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬128/x dm，此時(shí)四周空白面積為
S（x）=（x+4）（128/x+2）-128
      =2x+512/x+8（x>0）
∵S'（x）=2-512/x ²
S（x）=2x+512/x+8，S'（x）=2-512/x ²
∴令S'（x）=0可解得x=16（x=-16舍去）
列表討論如下

∵S（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)極值點(diǎn)
∴由上表可知，當(dāng)x=16，即池版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，S（x）最小。
答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周的空白面積最小。
問題情景二：飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤的影響
【背景材料】下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價(jià)格如表所示，則
（1）對(duì)消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？
（2）對(duì)制造商而言，哪一種的利潤更大？

例2、某制造商制造并出售球形瓶裝某種飲料，瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知在不考慮瓶子的成本的前提下，每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6Cm，則每瓶飲料的利潤何時(shí)最大，何時(shí)最小呢？
解：∵每個(gè)瓶的容積為：4/3πr³（ml）
每瓶飲料的利潤為y，則y=f(r)=0.2×4/3πr³-0.8πr²
                      =0.8πr（r³/3-r²）（0 令f'（r）=0.8π（r²-2r）=0，得r=2

∵f(r）在（0，6）上只有一個(gè)極值點(diǎn)
∴由上表可知，當(dāng)r=2時(shí)，利潤最小，且當(dāng)rà0時(shí)f（r）à0 而當(dāng)r∈（2，6）時(shí)，f（r）90.432
四、小結(jié)：
1.在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到求利潤最大，用料最省，效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題。
2.解決這些優(yōu)化問題的基本思路如以下流程圖所示：
  優(yōu)化問題à用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題
     a            a
 優(yōu)化問題的答案?用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題
2.解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是將實(shí)際問題化歸為函數(shù)的最值問題處理，其探究過程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過程，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的最值，要根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓袝r(shí)用基本不等式或二次函數(shù)圖象求最值比用導(dǎo)數(shù)更方便。
3.對(duì)優(yōu)化問題中的函數(shù)交關(guān)系，要注意根據(jù)實(shí)際背景確定函數(shù)的定義域，如果目標(biāo)函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)一般就是最值點(diǎn)。
五、練習(xí)
（1）一艘輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10km時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，其它與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問此輪船以何種速度航行時(shí)，能使每行駛1km的總費(fèi)用最小？
（2）用總長為14.8m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制作的容器的高為多時(shí)，其容積最大？最大容積為多少？