課程內容

《獨立重復試驗與二項分布》
復習引入
前面我們學習了互斥事件、條件概率、相互獨立事件的意義，這些都是我們在具體求概率時需要考慮的一些模型，吻合模型用公式去求概率簡便。
（1）P（A+B）=P（A）+P（B）（當A與B互斥時）；
（2）P（B/A）=P（AB）/P（A）
（3）P（AB）=P（A）P（B）（當A與B相互獨立的時）
那么求概率還有什么模型呢？
分析下面的試驗，它們有什么共同點？
（1）投擲一個骰子投擲5次；
（2）某人射擊1次，擊中目標的概率是0.8，他射擊10次品
（3）實力相等的甲，乙兩隊參加乒乓球團體比賽，規(guī)定5局3勝制（即5局內誰先贏3局就算勝出并停止比賽）；
（4）一個盒子中裝有5個球（3個紅球和2個黒球），有放回地依次從中抽取5個球；
（5）生產一種零件，出現(xiàn)次品的概率是0.04，生產這種零件4件。
共同特點是：多次重復地做同一個試驗。
基本概念
1、n次獨立重復試驗：
一般地，在相同條件下，重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗。
在n次獨立重復試驗中，
記A_i是“第i次試驗的結果”
顯然，P（A₁A₂…A_n）=P（A₁）P（A₂）…P（A_n）
獨立重復試驗的特點：
1）每次試驗只有兩種結果，要么發(fā)生，要么不發(fā)生；
2）任何一次試驗中，A事件發(fā)生的概率相同，即相互獨立，互不影響試驗的結果。
探究
投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為P，則針尖向下的概率為q=1-p。連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)1次針尖向上的概率是多少？
連續(xù)擲一枚圖釘3次，就是做3次獨立重復試驗，用Ai（i=1，2，3）表示第i次擲得針尖向上的事件，用B₁表示“僅出現(xiàn)一次人多針尖向上”的事件，則B₁==（A₁（-，A₂）（-，A₃））U（（-，A₁）A₂（-，A₃））U（（-，A₁）（-，A₃）A₂）。
由于事件A₁（-，A₂）（-，A₃）（-，A₁）A₂（-，A₃）彼此互斥，由概率加法公式得P（B₁）=P（（A₁（-，A₂）（-，A₃）））+P（（-，A₁）A₂（-，A₃））+P（（-，A₁）（-，A₂）A₃）
=q²p+q²p+q²p=3q²p
所以，連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)1次針尖向上的概率是3q²p。
思考？
上面我們利用擲1次圖釘，針尖向上的概率為p，求出了連續(xù)擲3次圖釘，僅出現(xiàn)次1針尖向上的概率。類似地，連續(xù)擲3次圖釘，出現(xiàn)k（0≤k≤3）次針尖向上的概率是多少？你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？
P（B₀）=P(（-，A₁）（-，A₂）（-，A₃）)=q³
P（B₁）=P（A₁（-，A₂）（-，A₃）+P（（-，A₁）A₂（-，A₃））+P（-，A₁）（-，A₂）A₃）=q³p,
P（B₃）=P（A₁A₂（-，A₂））+P（（-，A₁）A₂A₃）+P（A₁（-，A₂）A₃）=3qp²
P（B₃）=P（A₁A₂A₃）=P³。
仔細觀察上述等式，可以發(fā)現(xiàn)
P（B_k）=C^k₃P^kq^3-k，k=0,1,2,3。
基本概念
2、二項分布：
一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為x，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）C^k_nP^k（1-P）^n-k，k=0,1,2,…，n。
此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X-B（n，p）,并稱P為成功概率。
注：Pn（k）=C^k_nP^k（1-P）^n-k是（p+q）ⁿ展開式中的第k+1項。