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《二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》
二項(xiàng)式定理
（a+b）ⁿ=C⁰_na²+C¹_na^n-1b+C²_nn^n-2b²+…+C^r_na^n-rb^r+Cⁿ_nbⁿ
（n∈N）
這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）n的展開式，其中C^r_n（r=1，2，……，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，C^r_na^n-rb^r叫做二項(xiàng)展開的通項(xiàng)，用T_^r+1表示，該項(xiàng)是指展開的第r+1項(xiàng)，展開式共有_n+1個(gè)項(xiàng)。
T_^r+1=C^r_na^n-rb^r
1.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：
展開式共有n+1個(gè)項(xiàng)
2.系數(shù)規(guī)律：
C⁰_n,C¹_n,C²_n,C^r_n,……,Cⁿ_n
2.指數(shù)規(guī)律：
（1）各項(xiàng)的次數(shù)圴為n；
（2）二項(xiàng)和的第一項(xiàng)a的次數(shù)由n逐次降到0，第二項(xiàng)b的次數(shù)由0逐次升到n。
這個(gè)叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，也稱“楊輝三角”。
表中的每一個(gè)數(shù)等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和。
類似上面的表，早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個(gè)表稱為楊輝三角。在書中，還說明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋銷》算書，且我家北宋數(shù)學(xué)家賈憲（給公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它，這表明我國發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的。
二項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù)觀點(diǎn)
（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：C⁰_n,C¹_n,C²_n,C^r_n,……,Cⁿ_n
從函數(shù)角度看，C^r_n可看是以r自變量的函數(shù)f（r）其定義域是：｛0，1，2，…，n｝
f（r）=C^r_n
定義域｛0，1，2，…n｝
當(dāng)n=6時(shí)，其圖象是7個(gè)孤立點(diǎn)。
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
（1）對(duì)稱性
與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。
這一性質(zhì)可直接由公式C^m_n=C^n-m_n得到。
圖像的對(duì)稱軸：r=n/2。
（2）增減性與最大值
由于：C^k_n=｛n（n-1）（n-2）…（n-k+1）｝/{k.（k-1）}
         =C^k-1_n.（n-k+1）/k
所以C^k_n相對(duì)于C^k-1_n的增減情況由（n-k+1）/k決定。由（n-r+1）/r﹥1<=>r＜（n+1）/2可得：當(dāng)r＜（r+1）/2時(shí)，
二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，中間項(xiàng)的取值最大。
先增后減
n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)（第n/2+1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)C^n/2_n取得最大值；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)（第（n-1）/2+1、（n+1）/2+1項(xiàng)）的二項(xiàng)系數(shù)C^n-1/2_n和C^n+1/2_n 相等，且同時(shí)取得最大值。
（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和
在二項(xiàng)式定理中，令a=b=1，則：
C⁰_n+¹_n+C²_n+……+Cⁿ_n=2ⁿ
這就是說，（a+b）ⁿ的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：2ⁿ
同時(shí)由于C⁰_n=1，上式還可以寫成：
C⁰_n+C¹_n+C²_n+……+Cⁿ_n=2ⁿ-1
這是組合總數(shù)公式。