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《不等式和絕對(duì)值不等式》
這節(jié)課我們來(lái)研究：絕對(duì)值有什么性質(zhì)？
我們知道，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的意義：

表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離。
關(guān)于絕對(duì)值還有什么性質(zhì)呢？
①∣a∣√a²
思考：用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄒ獢?shù)軸上把∣a∣，∣b∣，∣a+b∣表示出來(lái)，你能發(fā)現(xiàn)它們之間的什么關(guān)系？
注：絕對(duì)值的幾何意義：

（1）∣a∣表示數(shù)軸上的數(shù)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離∣OA∣；
（2）∣a-b∣表示數(shù)軸上的數(shù)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的距離，如圖：
即∣a∣=∣OA∣，∣a-b∣=∣AB∣
定理1 如果a，b是實(shí)數(shù)，則∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣（當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立）
（1）若把a(bǔ)，b換為復(fù)數(shù)z₁，z₂,

結(jié)論：∣z₁+z₂∣≤∣z₁∣+∣z₂∣成立嗎？
（2）若把a(bǔ)，b換為向量（→，a），（→，b）情形又怎樣呢？
∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
-b代b，得：∣a∣-∣-b∣≤∣a+（-b）∣≤∣a∣+∣-b∣
即∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
定理（絕對(duì)值三角不等式）
如果a，b，是實(shí)數(shù)，則∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
注：當(dāng)a、b為復(fù)數(shù)或向量時(shí)結(jié)論也成立。
注意：1°這個(gè)不等式俗稱(chēng)“三角不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊
2°，對(duì)于∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
a，同號(hào)時(shí)右邊取“=”，a，b異號(hào)時(shí)左邊取“=”
3°，對(duì)于∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
a，同號(hào)時(shí)左邊取“=”，a，b異號(hào)時(shí)右邊取“=”
我們還可討論涉及多個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不等式的問(wèn)題：
推論1 （運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可得）：
∣a₁+a₂+…+a_n∣≤∣a₁∣+∣a₂∣+…+∣a_n∣.
定理2：如果a、b、c是實(shí)數(shù)，那么∣a-b∣≤∣+a-b∣+∣b-c∣,
當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（b-c）≥0時(shí)，等號(hào)成立。
例題
例1 已知ε﹥0，∣x-a∣＜ε,∣y-b∣＜ε，
求∣2x+3y-2a-3b∣＜5ε
例2 已知∣x-a∣＜ε/2M，0＜∣y-b∣＜ε/2∣a∣,y∈（0，M）,
求證∣xy-ab∣＜ε。 
練習(xí)
1.①已知∣x∣﹥r(jià)﹥0，a≠0，求證∣1/ax∣＜1/∣a∣r。
  ②已知∣a_n-ι∣＜1,求證∣a_n∣＜∣ι∣ +1。
2.已知∣A-a∣＜ε/2，∣B-b∣＜ε/2,求證：
①∣（A+B）-（a+b）∣＜ε；
②∣（A-B）-（a-b）∣＜ε。
例2 兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線(xiàn)的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路碑的第10公里和第20公里處，現(xiàn)要在公路沿線(xiàn)建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次，要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？
解：如果生活區(qū)建于公路碑的第xkm處，兩施工隊(duì)每天往返的路程之和為s（x）km
那么 S（x）=2（∣x-10∣+∣x-20∣）,要求問(wèn)題化歸為求該函數(shù)的最小值，可用絕對(duì)值三角不等式求解。
小結(jié)：理解和掌握絕對(duì)值不等式的兩個(gè)定理：
如果a，b，是實(shí)數(shù)，則∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
注：當(dāng)a、b為復(fù)數(shù)或向量時(shí)結(jié)論也成立。
定理2：如果a、b、c是實(shí)數(shù)，那么∣a-b∣≤∣+a-b∣+∣b-c∣,
當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（b-c）≥0時(shí)，等號(hào)成立。