課程內(nèi)容

《基本不等式√ab≤(a+b)/2（1）》
經(jīng)“風車”抽象成左圖。在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。令直角三角形兩條直角邊的長為a、b。
S_△DGC=1/2ab，即4個直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為a²+b²。
由此得：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有a²+b²≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。
一、不等式（1）a²+b²≥2ab
還有其他的方法證明嗎？
如果a＞0，b＞0，我們用√a，√b分別代替a、b，可得a+b≥2√ab
通常我們把上式寫作：√ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0）
二、基本不等式或不等式（2）
√ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0）或者（a+b）/2≥√ab（a＞0，b＞0）
當且僅當a=b時，（a+b）/2=√ab
1、兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)。
2、兩個正數(shù)的等差中項大于或等于它們正的等比中項。
探究：如何證明基本不等式√ab≤（a+b）/2（a＞0，b＞0）？
探究：法2與法3的證明有何不同？如何來使用？
在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD，你能利用這個圖形得出基本不等式√ab≤（a+b）/2是幾何解釋嗎？

三、變形不等式與等價關(guān)系式
a、變形不等式
已知a，b為正數(shù)，證明下列結(jié)論

b、3個等價關(guān)系式
（1）a²+b²≥2ab ←→ ab≤（a²+b²）/2  （a，b∈R）
（2）√ab≤（a+b）/2 ←→ ab≤[（a+b）/2]²  （a，b∈R⁺）
（3）√[(a²+b²)/2]≥（a+b）/2 ←→ （a+b）²/2  （a，b∈R⁺）
其中當且僅當a=b時取等號。
四、基本不等式的簡單應(yīng)用
例1：證明下列兩個不等式
（1）當a，b∈R+時，a/b+b/a≥2（當且僅當a=b時取“=”號）
（2）當a∈R⁺時，a+1/a≥2（當且僅當a=1時取“=”號）
例2：已知x，y是正數(shù)，求證：
（1）如果積xy是定值p，那么當且僅當x=y時，和x+y有最小值2√p。
（2）如果和x+y是定值s，那么當且僅當x=y時，積xy有最大值（1/4）s²。
課堂思考
某金店有一不準確的天平（臂長不等），顧客要買一串金項鏈，店主分別把項鏈放于左右兩盤各稱一次，然后把兩次稱得質(zhì)量的算術(shù)平均數(shù)作為項鏈的質(zhì)量，問這種稱法是否合理？